או מעוותים, אשר הביא לכך שבציבור הרחב יש שתי דעות מנוגדות לגבי סטטיסטיקה: ה"תמימה"; אשרמבוססתעלכבודרבלמדעכולוולסטטיסטיקהבפרט,מהשגורםלקבלת

Transcript

1 פרק מבוא לסטטיסטיקה. סטטיסטיקה מהי? הסטטיסטיקה היא מדע העוסק בנתונים כמותיים, איסופם, עיבודם, הצגתם והסקת מסקנות מהם וזאת כדי לסייע בפתרון בעיות מסוגים שונים. בימינו, קשה להעלות על הדעת איזה תחום בחיינו, שאין לו היבט סטטיסטי ואשר יד הסטטיסטיקאים לא נגעה בה. החלטות הנוגעות אישית לכל אחד ואחת מאתנו מבוססות על סטטיסטיקה, כגון: קביעת מחירי מצרכי המכולת הבסיסיים שאנו קונים, הנעשית לפי מדדים וחישובים שונים: מדידת חום, לחץ דם, תכנון התקציב החודשי, וחישוב כמות הקלוריות. כל הפעולות הרגילות האלה מערבות שימוש בסטטיסטיקה באופן אינטואיטיבי. חשוב לציין, שתחומים שלמים של מדע כמו גנטיקה, מדעי התנהגות, סוציולוגיה, רפואה וכו' לא היו קיימים בלי סטטיסטיקה כי היא מהווה שפה טבעית שלהם. השימוש בנתונים סטטיסטיים בעיתונות ותקשורת מסמן גישה מודרנית ורצינית. אבל כאן מתחילים הסיבוכים כי הנתונים המופיעים בתקשורת הם לעיתים קרובות לא מדויקים, לא שלמים ולפעמים אף שגויים או מעוותים, אשר הביא לכך שבציבור הרחב יש שתי דעות מנוגדות לגבי סטטיסטיקה: ה"תמימה"; אשרמבוססתעלכבודרבלמדעכולוולסטטיסטיקהבפרט,מהשגורםלקבלת הנתונים הסטטיסטים כאל אמת מוחלטת. הדעה הזאת מבוטאת בבדיחה על גבר שקורא בעיתון שכל ילד רביעי בעולם הוא סיני ופונה לאישתו ואומר "איזה מזל שיש לנו רק 3 ילדים". הגישה הזאת מביאה לשימוש בסטטיסטיקה בתחומים שבכלל לא שייכים לה, כמו הוכחות סטטיסטיות לקיום אלוהים וכו'. ה"צינית"; שמאמינה שבעזרת סטטיסטיקה אפשר להוכיח כל דבר, לכן לנתונים סטטיסטים אין שום משקל. חסידים של הגישה הזאת נוהגים להכריז כי יש 3 סוגים של שקר: שקר, שקר גס וסטטיסטיקה. הגישה הזאת מביאה להזמנות מחקרים סטטיסטיים שלא רק המטרות אך גם התוצאות הסופיות מוזמנות מראש, גישה זו פורחת בתחומי פרסום ופוליטיקה. שתי הגישות שגויות כי הן מבוססות על אי ידיעה ואי הבנה של מטרות, הגבלות, גבולות ודרישות של סטטיסטיקה עיונית ושימושית כמדע. כעת עולה השאלה, מה זה סטטיסטיקה? סטטיסטיקה היא המדע והאומנות העוסקת, באיסוף,עיבוד וניתוח נתונים כמותיים על מנת להסיק

2 פרק. מבוא לסטטיסטיקה 2 מסקנות מהימנות בנוכחות אי ודאות. המילה "אי ודאות" היא מלת מפתח בתורת ההסתברות וסטטיסטיקה. הבדל בין התחומים האלה לתחומים אחרים של מתמטיקה הוא שכאן מסיבות שונותישלנורקמידעחלקיעלפרמטרשאנוחוקרים. לפעמיםזהקורהכיהאוכלוסייהיותרמדי גדולה למחקר כולל (למשל, אם המטרה של המחקר היא בדיקת איכות ביצור של מוצר מסיים כאשר אין זמן ותקציב לערוך בדיקה של כל מוצר ומוצר) ולפעמים זה קורה כי האוכלוסייה היא אינסופית (למשל במחקר בתחומי גנטיקה או משחקי הימורים). לשם כך, אנו עורכים מדגם ועל סמכו מנסים לאמוד את הפרמטר הנדרש. מאילו שלבים מורכב מחקר סטטיסטי? כל מחקר סטטיסטי מורכב משלבים הבאים:. הגדרה מדויקת של מטרות המחקר: ראשית כל, מטרתו של המחקר חייבת להיות בעלת משמעות, כי אחרת אף מחקר סטטיסטי לא יעזור. שנית, המטרה יכול להיות: מאוד עיונית (כמו למשל, חישוב מסלולי חלקיקים בפלזמה או הגדרת חוקי תורשה בגנטיקה). או מאוד מעשית (כמו בקרת איכות ביצור או בדיקת שוק לפני שיווק מוצר חדש). העיקר שפרמטרים של המחקר צריכים להיות נתנים למדידה ביחידות מסוימות (הגדרת מטרה היא לא חלק מסטטיסטיקה). 2. בחירת המדגם המייצג: שאלה עיקרית וחשובה אשר עולה בשלב זה היא: איך לבחור את המדגם המייצג? במדעי טבע כאשר אנחנו עורכים סדרת ניסיונות, כל ניסיון הוא חלק מהמדגם המייצג בתנאי שכל המכשירים פועלים נכון והניסוי נערך באופן מדויק. הצפייה באוכלוסייה מסוימת במדעי טבע כבר מחייבת רמה מסוימת של זהירות: עד כמה תוצאות שנתקבלו מתצפית בקבוצה מסוימת נכונות לגבי כל האוכלוסייה? כאן מתחיל תחום נפרד, מרתק ומסובך של סטטיסטיקה שנקרא "תורת הניסיונות". מבחר נכון של מדגם מייצג בפסיכולוגיה וסוציולוגיה זה אומנות בפני עצמה. בקורס זה אין לנו אפשרות לגעת בתחום של תורת הניסיונות, ולשם כך תמיד נניח שהמדגם הוא מייצג ונתעסק רק בעיבוד הנתונים של המדגם. 3. חישוב הפרמטרים הנדרשים במדגם: חישוב פרמטרים של מדגם הוא בד"כ השלב הכי טכני בכל המחקר. בהמשך נגדיר נוסחאות חישוב של הפרמטרים הנפוצים. 4. הערכת משמעות הפרמטר האמיתי מתוצאות המדגם: על תוצאות המדגם מראש אפשר להכריז רק דבר אחד: הערכים של הפרמטרים שנתקבלו מהמדגם הם שונים מהערכים האמיתיים. בשאלה עד כמה הם קרובים לתוצאת אמת אנחנו נתעסק בפרק זה ובהמשך הקורס..2 סטטיסטיקה תיאורית אנחנו נתחיל ממחקר קצר בתחום משחקי הימורים. זה היה התחום שממנו צמחה תורת ההסתברות במאה השבעה עשרה, כך שאנחנו חוזרים לשורשים של המדע. עד היום משחקי ההימורים משמשים כשדה הנרחב והנוח ביותר למחקר בתורת ההסתברות. במשחקי הימורים רואים את היופי של תורת ההסתברות. הולדות הרמוניה מתוך כאוס. דוגמא: אם מטילים מטבע הוגן אחד אין שום אפשרות לחזות מראש האם נקבל "עץ" או "פלי", אבל אם נטיל 2 טונות של מטבעות הוגנים, אז נקבל טונה אחת של "עצים" וטונה אחת של "פלים". הניסוי שאנו נערוך

3 פרק. מבוא לסטטיסטיקה 3 הוא הטלת 3 קוביות משחק 6 פעם כאשר אנחנו מעונינים בסכום שלושת הקוביות בכל הטלה. התוצאות הן: 5,6,6 3,4,5 4,5,6 2,4,5,,5 3,3,6 2,5,6 4,4,5,3,5 2,3,6 2,4,5,,4 4,5,6 3,3,3,,5 2,2,5 2,4,5 5,5,6 2,3,3,3,4,2,3 4,5,6,5,5,2,4 2,3,5 3,3,3 3,4,6,5,6 3,3,6 2,3,4,2,6,4,5 4,5,5 2,4,6 4,5,6,4,5 2,2,5 3,3,4 2,5,6 5,6,6,,4,5,6 2,5,6 2,2,3,4,5,3,4 3,4,5 2,3,4,4,4 2,3,4 5,6,6 3,5,6,,4 3,3,4 2,2,6,3,5,,2,3,4 2,3,6 6,6,6 קשה להסיק מסקנות כאשר התוצאות מוצגות בצורה אקראית. לכן קודם כל, נסדר את הנתונים לפי סכום בסדר עולה, נחשב כמה פעמים מופיע כל סכום ונקבל טבלת שכיחות: סכום סך הכל שכיחות נגדיר מושגים בסיסיים של סטטיסטיקה תיאורית ונדגים אותם על פי הדוגמא הנ"ל. מספר הערכים במדגם נקרא גודל המדגם. בדוגמא שלנו, גודל המדגם הוא 6. הפרש בין הערך מקסימלי והערך מינימלי נקרא טווח המדגם. בדוגמא שלנו, הטווח הוא.8 4 = 4 מספר הפעמים שערך הנתון מופיע במדגם נקרא שכיחות שלו. בדוגמא שלנו, שכיחות של הסכום השווה ל 8 היא 4. הערך שחצי מהנתונים גדולים ממנו וחצי קטנים ממנו נקרא חציון. נכתוב את הערכים שנתקבלו במדגםמגודלn בסדרלאיורדונסמן אותם x,כאשר,...,x n :x x n. אם גודל המדגם + 2k n = (ז"א אי זוגי) אז החציון הוא +k x..2 אם גודל המדגם n = 2k (ז"א זוגי) אז החציון הוא ) k+ (x k + x 2. בדוגמא שלנו החציון הוא = ) ( +. 2 הערך (או הערכים) ששכיחותו מקסימלית נקרא הערך השכיח. בדוגמא שלנו הערך השכיח הוא 9. הממוצע הוא סכום של כל הערכים מחולק לגודל המדגם. כותבים x = n (x + x x n ) = n x i. כאשר n הוא גודל המדגם ו x,.. x,. n הם הערכים של המדגם. שימו לב שמספר הפעמים שכלערךמופיע בסכום שווה לשכיחות שלו. לכן אם כלערך y i נתון עם השכיחות

4 פרק. מבוא לסטטיסטיקה 4.x = n בדוגמא k שלו f i ומספר ערכים שונים הוא k אז הנוסחה הופכת ל =i f iy i שלנו מקבלים: x = ( ) = שונות המדגם מוגדר על ידי הנוסחה: k f i (y i x) 2. V ar = n (x i x) 2 = n כאשרn הואגודלהמדגם, x,...,x n הםהערכיםשלהמדגם, x הואהממוצעשלהמדגם, ו y i הםהערכיםהשוניםבקבוצה{.{x,...,x n מסקנה, ניתןלראותששונותהיאממוצע של ריבועי המרחקים בין הערכים לממוצע. בדוגמא שלנו: V ar = 6 ((4.75)2 + 4(6.75) (8.75) 2 ) = סטיית התקן של המדגם מוגדרת על ידי.s = V ar בדוגמא שלנו: = s הממוצע, החציון והשכיח הם מידות מרכז של המדגם. המידות האלה מראות משהו המדגם אבל צריך להיזהר: התמונה מיוצגת רק על ידי מידות מרכז יכולה להיות שונה מאוד מהאמת, כגון: אם בחדר בית חולים לאחד יש חום 42C ולשני 3.2C אז החום הממוצע הוא 36.6C שזה מצוין למרות שאחד גוסס והשני מת. לכן לא פחות חשובות מידות הפיזור שמראות את פיזור הנתונים סביב המרכז. טווח, ערכים מינימליים ומקסימליים שייכים למידות הפיזור. המידות החשובות בין מידות הפיזור הן שונות וסטיית תקן. הסיבה שאנו מגדירים סטיית תקן היא לחזור ליחידות מידה שמהם התחלנו. בדרך כלל ממוצע שונה מהחציון. הם תמיד שווים במקרה של התפלגות סימטרית המוגדרת באופן הבא. לסדרה x, x 2,..., x n של מדגם מגודל n יש התפלגות סימטרית אם לכל x i קטן מהממוצע ומקיים x x i = d קיים x j גדול מהממוצע ומקיים.x j x = d אם בסדרה יש k ערכים קטנים מהממוצע ומקיימים x x i = d אז יש בדיוק k מספרים גדולים מהממוצע ומקיימים.x j x = d את טבלת השכיחות ניתן לתאר באופן גרפי ע"י היסטוגרמה. היסטוגרמה מכינים בצורה הבא: לכל ערך X מטבלת השכיחות מציירים מלבן שמרכז בסיסו על x וגובהו הוא שכיחות של X. דוגמא: שכיחות ציון סה"כ 5

5 2 פרק. מבוא לסטטיסטיקה 5 ציון כמה מילים ביחס לסימונים, כאשר המדגם הוא האוכלוסייה כולה, כמו למשל מבחני כניסה לאוניברסיטאות נהוג לסמן את הממוצע ב µ וסטיית תקן ב σ. µ מסמנת את התוחלת או במילים אחרות הממוצע האמיתי של האוכלוסייה σ מסמנת את סטיית התקן האמיתית של האוכלוסייה. לכן כאשר מדגם הוא רק חלק של האוכלוסייה הממוצע מסומן ב x וסטיית התקן מסומנת ב σ. ו µ וזאת כדי להדגיש שהם רק אומדנים של פרמטרים s.3 תרגילים תרגיל. יהיו x,...,x n ו y,..., y m שני מדגמים. נניח שהממוצע של המדגם הראשון קטן מהממוצע של המדגם השני: x. < y הוכח או הפרך (על ידי דוגמה נגדית מתאימה) את הטענות הבאות: (א) קיים x i וקיים y j כך ש.x i < y j (ב) לכל x i ולכל y j מתקיים.x i < y j (ג) לכל x i קיים y j כך ש.x i < y j (ד)קיים x i כך שלכל y j מתקיים.x i < y j פתרון: (א) נכון. אם זה היה לא כך, היה מתקיים לכל x i ולכל y j כך ש x. i y j בפרט.min x i maxy j אבל x min x i ו.maxy j y ולכן x y בסתירה לנתון. (ב) לא נכון, למשל נקח ) (, = x ו 9) (7, =.y (ג) לא נכון, למשל כמו ב (ב). (ד) לא נכון, למשל נקח 5) ( 5,, = x ו 2) ( 6,, =.y תרגיל.2 ענה על העיפים הבאים: (א) כתוב מדגם בן 2 מספרים שהממוצע שלו הוא והשונות שלו היא 5. (ב)הוכח או הפרך: אם למדגם א' סטיית תקן גדולה מסטיית התקן של מדגם ב', אז הטווח של מדגם א' גדול מהטווח של מדגם ב'. (ג)הוכח או הפרך: אם למדגם א' טווח גדול מהטווח של מדגם ב', אז סטיית התקן של מדגם א' גדולה מסטיית התקן של מדגם ב'. פתרון:.x = ± כלומר 5 x2 +x 2 (א) אם המדגם הוא x, y אז = x+y ולכן.x = y השונות = המדגם הוא לכן 5 5,. (ב) לא נכון, למשל נקח מדגם א' } {, ומדגם ב' }.{,,,,,,, אז טווח > 2 וסטיית תקן /4 < 2/9. (ג) לא נכון, למשל נקח מדגמים בהפוך מ (ב).

6 פרק. מבוא לסטטיסטיקה 6 תרגיל.3 חברת טלויזיה בלויין עורכת סקר שביעות רצון מסדרת דרמה חדשה. מכלל המנויים נבחר מדגם מייצג של איש, אשר ענו על שביעות רצונם כמספר מ (בכלל לא מעניין) ועד 5 (מעניין ביותר) (אם כך, בידנו מדגם בן מספרים). הנה התוצאות (בעזרת אישור בלעדי מהחברה): התשובה מספר האנשים שבחרובתשובה זו הוחלט בדירקטוריון החברה שאם ממוצע המדגם קטן מ 2.5, הסדרה היא כישלון, ואין היא ראויה להצגה בטלויזיה. הלאה, אם תנאי זה לא מתקיים, וסטיית התקן של המדגם תהיה גדולה או שווה ל 2, הסדרה תוצג בערוץ בחירה (בתשלום נוסף). אם גם זה לא מתקיים, הסדרה תוצג בערוץ ללא תשלום. ערכו חישובים, ואמרו מה תהיה החלטת החברה. פתרון: ממוצע המדגם = 2.7 5) (5. לכן הסדרה תוצג בטלויזיה. השונות =.9 ) (5. סטיית התקן, שורש ריבועי מהשונות, קטנה מ, ולכן מ 2, ולכן הסדרה תוצג בערוץ ללא תשלום. תרגיל.4 סטודנטים נתבקשו לנתח קבוצה של 5 ערכים אי שליליים שלא כולם זהים. הקבוצה כללה בדיוק שלושה אפסים ושני ערכים זהים לממוצע. (א) סטודנט A החליט לא לכלול את האפסים בחישוביו. לכל פרמטר ציין האם התוצאה שתתקבל גדולה, קטנה, שווה או לא ניתן לקבוע ללא מידע נוסף יחסית לפרמטר הנתון: (א) ממוצע, (ב) טווח, (ג) שונות. (ב) סטודנט B החליט לא לכלול את שני הערכים השווים לממוצע. לכל פרמטר ציין האם התוצאה שתתקבל גדולה, קטנה, שווה או לא ניתן לקבוע ללא מידע נוסף יחסית לפרמטר הנתון: (א) ממוצע, (ב) טווח, (ג) שונות. פתרון: (א) הממוצעהמקורי היה גדולמאפס, כלומר סטודנטA גרע שלושהערכים קטנים מהממוצע ובכך הגדיל אותו. הטווח קטן. לגבי השונות אי אפשר להכריע. למשל, עבור {4,},, השונות היא 3, ואילוהשונות של{ 4 } היא, כלומרבמקרהזההשונות קטנה. אולם,עבור{ 9,},,, השונות היא, 62 ואילו השונות של {9,} היא 6, כלומר במקרה זה השונות גדלה. 5 (ב) הממוצע נשאר זהה. הטווח לא ישתנה: הרי ברור שיש ערכים קטנים מהממוצע ( למשל) ולכן גם ערכים גדולים מהממוצע, וכאשר נוריד את הממוצע הטווח יישאר זהה. השונות תגדל: אם x הממוצע, אז הוא גם הממוצע של הסדרה החדשה ומתקיים V ar old = (x x)2 +(x x) 2 + (x i x) 2 5 = (x i x) 2 5 (x i x) 2 48 = V ar new. תרגיל.5 נניח שלמדגם x,...,x n יש ממוצע. הראו שהממוצע של המדגם,x 2 x n,...,x x n.x,...,x n קטן או שווה לשונות של המדגם x n x

7 פרק. מבוא לסטטיסטיקה 7. x x n+x 2 x n + +x nx וזה נובע ישירות מאי שוויון קושי x2 +x2 n פתרון: צריך להראות n n שוורץ עבור הוקטורים ) n (x, x 2,...,x ו ).(x n, x n,...,x תרגיל.6 יהיו X, X 2,..., X n ו Y, Y 2,...,Y m שני מדגמים. הוכח או הפרך:.X X = Y Y גורר ש Xi 2 Yi (א) 2 (ב) אם לכל,X i,i =, 2,..., n אזי.X X 2 (ג) שונושת של X שווה לשונות של X. X.Y אזי,Y (ד) אם לכל i,i =, 2,..., m Y פתרון: (א) נכון מכיוון ש X X = n (X X i ) = n nx n X i = X X =, נקבל שמתקיים.x x = Y Y.X 2 = ,X אז =.5 +2 = X וגם = 2.5 (ב) לא נכון כי למשל אם = X ו = (ג) נכון. שונשות של X X שווה ל X),X X (X אבל = X X אז (X X (X X)) 2 = (X X) 2. y שהיא y (ד) נכון. נוכיח את זה באינדוקציה על m: עבור = m הטענה שקולה ל טענה נכונה. נניח נכונות הטענה עבור m, כלומר y + + y m m m y + +, y m ( (y + + y m ) + + ) m 2, y y m ששקול ל ואז נקבל ש ( ) (y + + y m+ ) y + + y ( m+ ) ( ) = (y + + y m ) y + + y m + y + +y m y m+ + y m+ y + + y m + (( m 2 y + + y ) ( m+ ym y )) m+ + y m+ y y m+ y }{{ m } n m 2 + 2m + = (m + ) 2,

8 פרק. מבוא לסטטיסטיקה 8 ( (y + + y m+ ) + + ) (m + ) 2, y y m+ y + + y m+ m + m + y + +. y m+ כלומר ששקול ל תרגיל.7 יהיו x, x 2,...,x n ו y, y 2,...,y m שני מדגמים. הוכח או הפרך: (א) אם שונות של X גדול משונות של Y אזי קיימים x i ו y j כך ש x. i y j (ב) אם ממוצע של X גדול ממוצע של Y אזי קיימים x i ו y j כך ש x. i y j (ג) אם שכיח של X גדול משכיח של Y אזי קיימים x i ו y j כך ש x. i y j תרגיל.8 יהיו x, x 2,...,x n ו y, y 2,..., y m שני מדגמים ונניח ש A = [ min i n x i, max i n x i] ו B = [ min y i, max y i]. i m i m הוכח או הפרך: (א) אם ממוצע של X שווה לממוצע של Y, אז B A. (ב) אם ממוצע של X שווה לממוצע של Y וגם = B A, אז x = = x n = y = = y m.

9 פרק 2 סיגמא אלגברה ומרחב המאורעות 2. מבוא הבה נסקור תחילה את ההגדרות המקובלות במתמטיקה למושגיה היסודיים של תורת הקבוצות, ואחר כך נסקור ונביא ההגדרות הבסיסות למרחב ההסתברות. לפיכך נפתח בסימונים וטענות מתורת הקבוצות כדלקמן: קבוצה אוניברסלית Ω: כל הקבוצות הן תת קבוצות של Ω. סימון: A Ω לכל A. הקבוצה הריקה : לכל קבוצה A מתקיים A. המשלים A של קבוצה : לכל תת קבוצה נגדיר A}.A = {x Ω x איחוד של שתי קבוצות A ו B נגדיר על ידי B} x או.A + B = {x Ω x A חיתוך של שתי קבוצות A ו B נגדיר על ידי B} x גם.AB = A B = {x Ω x A נאמר ששתי הקבוצות הללו הן קבוצות זרות אם ורק אם = B A. הפרש קבוצות A ו,A B,B נגדיר על ידי B} x גם.A B = {x Ω x A קבוצה של תת קבוצות של Ω נקראת משפחה של קבוצות A אם A A תת קבוצה מ A. משפחה של תת קבוצות של,{U i } i I,Ω היא פירוק של Ω אם מתקיים i I U i = Ω וגם.i, j I ו i j לכל U i U j = נסמן תת קבוצה של הטבעיים N ב I. באמצעות הגדרות הללו ניתן להראות את קיום התכונות הבאות. לכל שלושת קבוצות,A,B C ב Ω מתקיים: () A + = A (2) A = (3) A + Ω = Ω (4) A Ω = A (5) A + A = Ω (6) A A = (7) A + A = A (8) A A = A (9) A + B = B + A () A B = B A () A + (B + C) = (A + B) + C (2) A (B C) = (A B) C (3) (A + B) C = A C + B C (4) A B + C = (A + C) (B + C) (2.) 9

10 פרק 2. סיגמא אלגברה ומרחב המאורעות (2.2) A + B = A B, A B = A + B. וגם מתקיימים חוקי דה מורגן: 2.2 סיגמא אלגברה סיגמא אלגברה או σ אלגברה היא אחת המושגים המודרניים במתמטיקה שמתאר אוסף של תת קבוצות של קבוצה מסויימת. במקור, מושג זה הוגדר באנליזה שהוא אחד הענפים הראשיים של המתמטיקה. הוא כלי הכרחי למען הגדרת מידה שהוא בפני עצמו כלי חשוב מאוד באנליזה. ענף אחר של המתמטיקה, הוא תורת ההסתברות שבו משתמשים במושג זה ככלי להגדרת מרחב הסתברות, כפי שנראה. ולפיכך, אנו נתחיל את סעיף זה בהגדרת מושג זה. הגדרה 2. בהינתןקבוצה Ω משפחהלא ריקהA של תת קבוצותשלΩ. A נקראת σ אלגברה מעל Ω אם מתקיים.A A,A A לכל (i) לכל i N A i A,{A i } i N A (האיחודים נמצאים ב.(A במילים אחרות, σ אלגברה היא משפחה לא ריקה של תת קבוצות של Ω הסגורה לגבי פעולת ההשלמה ופעולת האיחוד הבן מניה. (ii) טענה 2. אם,Ω σ אלגברה A מעל.Ω אזי A. שייכות ל Ω הקבוצות ו (i). n A i A וגם n A i A אזי,{A i } n A אם (ii).a B A אזי,A, B A אם (iii). i I A i A וגם i I A i A אזי,{A i } i I A אם (iv) הוכחה: (i) מכיוון A לא ריקה אז קיימת קבוצה A. A לכן שימוש בתכונות של σ אלגברה ו )2.( נקבל ש A + A = Ω A וגם.A A = A n. מכיוון שנתון {A i } n A אז =i A i A נותר להראות ש מתכנות של σ אלגברה (ii) n על פי חוקי דה מורגן )2.2(, לכן מתכנות של A i = n נקבל,{A i } n A וגורר A i σ אלדברה נקבל הדרוש. (iii) מתכנות של σ אלדברה נקבל גם,B A A ואז A B = AB = A + B A..(ii) כמו (iv)

11 פרק 2. סיגמא אלגברה ומרחב המאורעות דוגמא () 2. לכל קבוצה Ω קיימת Ω} A = {, הנקראת σ אלגברה טריוויאלית. אפשר להעיר כי כל σ אלגברה מעל Ω מכילה את σ אלגברה טריוויאלית. (2) Ω A משפחה של כל התת קבוצות של Ω היא: σ אלגברה: A תת קבוצה גורר A תת קבוצה. {A i } i I תת קבוצה גורר i I A i תת קבוצה. כל σ אלגברה מעל Ω מוכלת ב A Ω A. Ω נקראת σ אלגברה אוניברסלית מעל Ω. השאלה הנשאלת עכשיו איך לבנות σ אלגברה באופן כללי? בו נשיב על השאלה הזו בצורה הבאה. יהי E אסוף כלשהוא של תת קבוצות של Ω קיימת σ אלגברה A E מינימלית שמכילה את E. נקח אסוף של כל ה σ אלגבראות שמכילות את E. האוסף הזה לא ריק כי A Ω בו. נגדיר A E כחיתוך האוסף. אז נקבל את התכונות הבאות: האוסף A E אינו קבוצה ריקה מכיוון ש.E A E E A היא σ אלגברה. רואים את זה על ידי: אם A A E אז הקבוצה A היא נמצאת בכל σ אלגברה שבאוסף A, E אז גם A היא נמצאת בכל σ אלגברה שבאוסף A. E לכן.A A E ואם יש לנו אוסף של קבוצות {A i } i I A E אזי האוסף {A i } i I מוכל בכל אחת מ σ אלגבראות שבאוסף A, E אז גם i I A i נמצא בכל אחת מ σ אלגבראות שבאוסף.A E לכן i I A i A E. E A היא σ אלגברה מינימאלית היחידה שמכילה את E. באמת אם B E היא σ אלגברה מינימאלית שמכילה את E איז A E B E ולפי מינימאליות נקבל שמתקיים.A E = B E למשל, אם = E אז Ω},A E = {, ואם {A} E = אז A}.A E = {, Ω, A, 2.3 אלגברת המאורעות אם זורקים צלחת מזכוכית מהחלון של קומה שלישית היא נופלת למטה זה מה שיקרה תמיד וזאת לפי חוק כוח המשיכה. מאורעות כאלה נקראים וודאיים. מאורעות שאי אפשר שיתקיימו נקראים מאורעות בלתי אפשריים. כגון, אף צלחת זכוכית שנזרקה מהחלון של קומה שלישית לא מרחפת עם הרוח בשמיים. לכן זהו מאורע בלתי אפשרי. תוצאות של הניסוי "זריקת צלחת מהחלון של קומה שלישית" מוגדרות מראש. אך המציאות לא תמיד מוגדרת באופן מוחלט ולא תמיד אפשר לצפות מראש את התוצאות של הניסוי, כי העולם שבו אנו חיים ופועלים הוא עולם של אי ודאות. באופן קבוע אנו מנסים לצמצם ככל האפשר את אלמנט אי הוודאות, תוך רצון לצפות את התוצאות של תופעות ותהליכים אקראיים המתרחשים סביבנו. כיון שאין דרך לקבוע בוודאות את תוצאות של תהליך אקראי, אנו מנסים, לחלופין, להעריך את הסיכויים של התוצאות האפשריות השונות, כדי שנוכל להגיע להחלטות טובות ככל האפשר. נסתכל בשתי השאלות הבאות: () האם משה יעבור את הבחינה בהסתברות? (2) האם בהטלת קוביה נקבל 6?

12 פרק 2. סיגמא אלגברה ומרחב המאורעות 2 כפי שניתן לראות, התשובות לשאלות הללו אי אפשר לצפות מראש. אך יש הבדל גדול בין הניסויים הקשורים למשה לבין הניסויים הקשורים להטלת קוביה, הניסוי הראשון הוא חד פעמי, כי אם משה נכשל בבחינה אז הוא יתחיל להתכונן למעוד ב' ואז הסיכוי שלו ישתנה. ואילו אם מטילים קוביה הוגנת הרבה פעמים אז יחס של הטלות שבהם הקוביה נופלת על צלע "6" למלה כלל הטלות יהיה קרוב ל. במקרה הזה ניתן לומר שיש למאורע יציבות סטטיסטית שנותנת 6 לנו אפשרות לחזור על הניסוי מספר פעמים אשר נרצה. הגדרה 2.2 מאורע נקרא מקרי אם הוא תוצאה של ניסוי שאפשר לחזור עליו מספר פעמים אשר נרצה וסיכויו לא משתנים מניסוי לניסוי. בהמשך אנו נקרא למאורע מקרי פשוט מאורע. למשל, () קבלת מספר זוגי בהטלת קוביה. (2) סוג דם של בן אדם במדגם. (3) מספר α חלקיקים שנקלטו בקולט בקרינה של אותו חומר במשך זמן מסוים. הגדרה 2.3 מרחב מדגם Ω של ניסוי הסתברותי הוא קבוצה של כל התוצאות האפשריות של הניסוי. כל תוצאה (ז"א כל איבר בודד ב Ω) נקראת מאורע אלמנטרי. דוגמא () 2.2 הטלת קובית משחק: 6} {, 2, 3, 4, 5, = Ω ויש 6 מאורעות אלמנטריים. (2) בדיקת סוג דם של בן אדם במדגם: AB} Ω =,O},A,B ויש 4 מאורעות אלמנטריים. (3) מספר חלקיקים α שנקלטו בקולט בקרינה של החומר הנתון: {...,2,} = Ω ויש אינסוף מאורעות אלמנטריים. הגדרה 2.4 אלגברת מאורעות A היא משפחה של תת קבוצות של Ω שהיא σ אלגברה. וכל איבר של A נקרא מאורע. למה מגדירים A כ σ אלגברה? הדרישה שאם A מאורע אז גם A מאורע נראית טבעית בהחלט כי A אומר רק שלא קיבלנו את A כתוצאה מהניסוי. גם ברור שאיחוד סופי של מאורעות צריך להיות מאורע. אבל למה אנו צריכים שגם איחוד אין סופיים של מאורעות להיות מאורע? האקסיומה השניה של σ אלגבראות נראית יותר מלכותית, אבל תהיה הכרחית במקרים כאשר σ אלגברה מכילה מספר אינסופי של מאורעות אלמנטריים. זה קורה לעיתים קרובות בתורת ההסתברות למשל, אם הניסוי הוא הטלת קוביה הוגנת עד קבלת 6 בפעם הראשונה זאת אומרת.}.., 2 Ω = {E, E כאשר E i = E. מאורע זה קרה אחרי מספר סופי הטלה ראשונה של 6 הייתה בפעם ה i. נגדיר =i E i של הטלות! כפי שניתן לראות זה הופך לדרישה טבעית. הגדרה 2.5 תהי Ω מרחב מדגם ו A אלגברת מאורעות..AB = נקראים מאורעות זרים אם A, B A. 2. מאורע נקרא בלתי אפשרי.

13 פרק 2. סיגמא אלגברה ומרחב המאורעות 3 3. מאורע Ω נקרא וודאי. 4. i I U} i } נקראים פירוק של Ω אם מתקיימים שני התנאים הבאים: (א) i I U i = Ω (ב) = j U i U לכל I) i j I סופי או אינסופי). דוגמא 2.3 נביא שתי דוגמאות. (א) הניסוי הוא הטלת קובית משחק. מרחב המדגם הוא = Ω 6},{, 2, 3, 4, 5, ו A היא ה σ אלגברה של כל התת קבוצות של.( A = 2 6 ) Ω נגדיר את המאורע הבא: A ={קבלת מספר זוגי בהטלה}, B ={קבלת או 3 בהטלה}, ו C ={קבלת 5 בהטלה}. לכן () A ו B הן קבוצות זרות. (2) {C,A},B פרוק של Ω. (ב) הניסוי הוא הטלת קוביה עד קבלת.6 מרחב המדגם הוא.}.., 2 Ω = {E, E ו A היא.( A = 2 ℵ נגדיר 6}=A הופיע ב הטלות ה σ האלגברה של כל התת קבוצות של = (ℵ Ω ראשונות}, B={6 הופיע אחרי הטלה 5}, ו C={6 הופיע בין הטלה להטלה 5}. אזי.C = 5 E i,b = 6 E i,a = E i כי: Ω הוא פירוק של {A, B, C} 2.4 תרגילים תרגיל 2. הוכח את הזהויות הבאות: b) (a, b) = n=(a, b /n) = n=[a + /n, ו.[a, b] = n= [a, b + /n) = n= (a /n, b] תרגיל 2.2 נתון ש A ו B שתי קבוצות זרות. הוכח גם הקבוצות A C ו B C זרות. מה עם הקבוצות A C ו?B C תרגיל 2.3 הוכח את הזהות הבאה ) i.a ( i B i ) = i (A B תרגיל 2.4 תהי n A} n } סדרה של קבוצות כלשהי. (א) הוכח או הפרך ש i A אם נתון i n A עבור כל.n (ב) הוכח או הפרך ש A i B אם נתון n A i B עבור כל n תרגיל 2.5 תהי Ω קבוצה, ו X Ω תת קבוצה. תהי A אלגברה על Ω. הראו שהאוסף A X = {B X B A} מהווה σ אלגברה על X. פתרון: ישלבדוק את האסיומות: () X X = Ω X :X A ואילו.Ω A (2) אם,A A X למשל A = B X עם,B A אז X X A = (Ω B) ולכן,X A A X כלומר המשלים של A בתוך X גם ב σ אלגברה. (3) אם,i =, 2,...,A i A X ו A i = B i X אז i A i = i B i X ולכן. i A i A X תרגיל 2.6 תהי σ אלגברה A על קבוצה X. האם יכול להיות ש A? = ℵ

14 פרק 2. סיגמא אלגברה ומרחב המאורעות 4 פתרון: לא יכוללהיות. קיימתמשפחהבתמנייה אינסופיתשלקבוצות{..., 2 {X, X מ A כך שכל אחת מכילה איבר שאף אחת אחרת אינה מכילה (נראה זאת למטה). נוכל להגדיר פונקציה 2 N A על ידי,N 2 N,N n N A n (כאן לתקינות ההגדרה נזקקים ל σ אדיטיביות). פונקציה זו חח"ע כי אם N N אז קיים למשל n N n, N ואז לפי התנאי על המשפחה איבר כלשהו ב A n שייך לתמונת N אבל לא לתמונת N, כלומר התמונות לא שוות. מהיות. A 2 ℵ ההעתקה חח"ע נסיק > ℵ נראה שקיימת המשפחה שתוארה. נגדיר יחס (שיתברר כיחס שקילות) על Ω כך: a b X A(a X b X), (כל X ב A המכיל את a חייב להכיל את b). ברור שהיחס רפלקסיבי וטרנזיטיבי. הוא גם סימטרי: נניח a b ותהי X A כך ש.b X אז אם בסתירה a X יהיה a X ולכן (מ,b X (a b סתירה ל.b X לכן היחס הוא יחס שקילות. קל להראות שכל X A ניתן להציג כאיחוד מחלקות שקילות של יחס זה (כל המחלקות שלא זרות לו); לכן מספר מחלקות אלולא יכול להיות סופי(אחרתמספר הקבוצותב A היה לכל היותר 2 חזקתמספרזה, סתירה להיות A אינסופית). אםכך נוכללקחת ℵ מחלקות שקילותשונות..., 2,E, E ובכל אחתאיבר..., 2.e, e לכל i, j N,i j נוכל למצוא X ij A המקיים e j X ij,e i X ij (אחרת באותה מחלקת שקילות). אז X i = i j X ij יהיו המשפחה הרצויה ) i e נמצא ב X i ולא נמצא בשאר). תרגיל 2.7 אם b]} X {(a, b), (a, b], [a, b), [a, כאשר ] [, b, a, נאמר ש.segment X הוכח או הפרך את הטענות הבאות: א. segment} {A A n n N, A i is היא σ אלגברה. ב. segment} {(A A n ) Q n N, A i is היא σ אלגברה. תרגיל 2.8 יהיו J, J 2 שתי σ אלגבראות. הוכח או הפרך את הטענות הבאות: א. J J 2 היא σ אלגברה. ב. J J 2 היא σ אלגברה. ג. J \J 2 היא σ אלגברה. ד. J J 2 היא σ אלגברה. תרגיל 2.9 יהי σ אלגברה J על X וננית ש. J = ℵ לכל נקודה a X נגדיר הקבצוה.X a = a A J A הוכח שלכל a X מתקיים,X a J וגם שהקבוצה X} {X a a הוא פירוק אינסופי של X.

15 פרק 3 הסתברות 3. מבוא רשמית תורת ההסתברות נולדה בחצי הראשון של המאה השבע העשרה בהתכתבות בין בלז פקסל ופייר דה פרמה. אבל כבר במאה ה 6 לפני ההתכתבות המפורסמת,המתמטיקאי הגדול ביותר של התקופה, ז'ירלמו קארדאנו פתר בעיות ראשונות שכולן היו קשורות למשחקי הימורים ופרסם ספר בשם aleae" "libre de ludo ("הספר על משחקי הימורים"). יש לציין שקרדאנו היה מהמר מכור כך שהימורים גזלו הרבה מזמנו, ז'ירלמו קארדאנו מכספו ומהמוניטין שלו. אבל כנראה קארדאנו הקדים את תקופת ההסתברות וההתעניינות האמיתית והרחבה בתורת ההסתברות אשר התעוררה רק במאה הבאה כאשר גדולי המדענים כמו פרמה, פסקל וגלילאי גלילאו לא רק פתרו הבעיות (שגם היו קשורות למשחקי הימורים) אלא גם ניסחו את היסודות של המדע החדש. במשחקי הימורים (הוגנים) תמיד יש n תוצאות שונות אפשריות באותה מידה. למשל, בהטלת מטבע הסיכוי לקבלת עץ שווה לסיכוי של פלי, וכמו כן, בהוצאת קלף מחפיסת ברידג' הסיכוי להוציא 6 יהלום שווה לסיכוי להוציא מלך לב וכו'. לכן ההגדרה הראשונה "הקלאסית" של הסתברות מתייחסת רק למרחבי מאורעות "סימטריים" זאת אומרת כאלה שכל המאורעות האלמנטריים במרחב מדגם אפשריים באותה מידה. הגדרה 3. אם במרחב מדגם יש n מאורעות אלמנטריים אפשריים באותה מידה, אז ההסתברות של כל מאורע אלמנטרי היא. אם מאורע A כולל m מאורעות אלמנטריים אז ההסתברות שלו היא n. m n סימון 3. נסמן ב ( P(A את ההסתברות של מאורע A. לפי ההגדרה רואים כי: "לכל מאורע A מתקיים: P(A) ; הסתברות המאורע הוודאי היא, והסתברות המאורע הבלתי אפשרי היא אפס. דוגמא 3. (פרדוקס דה מרה) זוהי הבעיה המפורסמת מימים הראשוניים של תורת ההסתברות. שבליה דה מרה המהמר שחיי במאה ה 7 התעניין בתורת ההסתברות השימושית. הוא ערך 5

16 פרק 3. הסתברות 6 ניסיונות כדי לבדוק הסתברויות באופן מעשי וניסח (בהתכתבות עם פסקל) כמה בעיות חשובות. להלן אחת מהן: אחרי חישובים דה מרה קיבל שסיכויו לקבל הסכום בהטלת 3 קוביות משחק שווה לסיכויו לקבל הסכום 2 וזאת כי שני הסכומים אפשר לקבל ב 6 דרכים: : {(, 4, 6), (, 5, 5), (2, 3, 6), (2, 4, 5), (3, 3, 5),(3, 4,4)} 2 : {(, 5, 6), (2, 4, 6), (2, 5, 5), (3, 3, 6), (3, 4, 5),(4, 4,4)} אבל בבדיקות מעשיות יצא שסיכוי יותר גבוה. פסקל מצא פתרון לפרדוקס דה מרה: מרחב המאורעות הסימטרי של הניסוי הזה הוא אוסף של כל השלשות האפשריות כאשר מבדלים בין הקוביות. סך הכל המרחב הכולל הוא = מאורעות. מאורע = A {בקוביה אחת קיבלנו, בקוביה אחרת 4 ובקוביה שלישית קיבלנו 6} כולל 6 מאורעות אלמנטריים )} (6, 4,,4), ),(6, (4, 6, 6), (4,, 4), (, 6, 6), {(, 4, = A כמו כן, כל מאורע של קבלת 3 מספרים נתונים (בין ל 6) שונים בהטלת 3 קוביות כולל 6 מאורעות אלמנטריים. מאורע = B {בקוביה אחת קיבלנו ובשתי קוביות אחרות קיבלנו 5} כולל 3 מאורעות אלמנטריים )} (5, 5, 5), (5,, 5), {(, 5, = B כמו כן, כל מאורע של קבלת 2 מספרים נתונים (בין ל 6 ) שונים בהטלת 3 קוביות כולל 3 מאורעות אלמנטריים. מאורע = C {קיבלנו 4 בכל שלוש הקוביות} כולל מאורע אלמנטרי יחיד {(4,4)},4 = C. כמו כן, כל מאורע של קבלת מספר נתון בין ל 6 בכל השלוש קוביות הוא מאורע אלמנטרי. לכן מאורע = D {קבלת הסכום { כולל = מאורעות אלמנטריים ומאורע = E {קבלת הסכום {2 כולל = מאורעות אלמנטריים. לפי הגדרה קלאסית של הסתברות = 25 P(E) שמסביר פרדוקס דה מרה. 26 = P(D) ו אחרי שתורת ההסתברות יצאה מתחום משחקי ההימורים בלבד היא התחילה להתעסק בשאלות הקשורות למרחבים שמאורעות אלמנטריים שאפשרותן אינה באותה מידה. זה קרה בסוף המאה השמונה עשרה והיה קשור לתחילת העידן הסטטיסטי. בגלל המורכבות של הבעיות החדשות היה קשה או בלתי אפשרי להגדיר את הסתברויות של מאורעות אלמנטריים משיקולים שונים מראש. לכן הופיע הצורך בהגדרה יותר כללית שתאפשר לפתור בעיות שימושיות בתורת ההסתברות. ומכאן נולדה ההגדרה הסטטיסטית הבאה. הגדרה 3.2 (סטטיסטית) אם ידוע שלמאורע יש יציבות סטטיסטית ונתונים מראים ששכיחות של מאורע A היא m מתוך n ניסיונות אז מגדירים.P(A) = m n דוגמא. 3.2 במשך יותר מ 4 שנה באירופה רשמו אתכל התינוקות כולל מינם. הנתונים הם אחידים לתקופות ומדינות שונות. לפי הנתונים נולדים 5% בנים ו 49% בנות. לפי הגדרה לעיל ההסתברויות הן: =.5,P(B).P(G) = לפני נתונים סטטיסטים לקבוצות דם באירופה השכיחויות הן: שכיחות באחוזים קבוצת דם O 33% A 42% B 8% AB 7%

17 פרק 3. הסתברות 7 וההסתברויות הן: =.7,P(AB),P(A) =.42,P(B) =.8 ו =.33.P(O) 3.2 פונצקית הסתברות בשנות ה 2 של מאה XX היסודות האקיומתית של תורת ההסתברות נבנו. הגדרה כללית אקסיומתית שנשתמש בה היא כדלקמן. הגדרה 3.3 יהי Ω מרחב מדגם ו A אלגברה מאורעות מעל Ω. פונקציה [,] A P : המקיימת את האקסיומות הבאות:.P(Ω) =., i I P(A i) = P ( i I A i).2 אם {Ai } i I A זרים אזי נקראת פונקצית הסתברות. השלישייה (P,Ω),A נקראת מרחב הסתברות. אקסיומה (2) נקראת התכונה האדיטיבית של פונקצית ההסתברות. ועכשיו השאלה הנשאלת האם לכל אלגברת מאורעות A מעל Ω קיימת פונקצית הסתברות?. אם Ω ניתן למניה Ω = x} i } i I אזי לכל A אפשר למצוא P. לכן מספיק להגדיר ) i P i = P(x כאשר i P לכל i I כאלה ש = i i I P ומקבלים פונקצית הסתברות ל A Ω ומכאן מקבלים פונקצית הסתברות לכל σ אלגברה מעל Ω. 2. אם Ω לא ניתן למניה אז אי אפשר להגדיר פונקציה הסתברות ל A. Ω כדוגמא, זורקים נקודה על הישר באופן אחיד. מובן ש = P(x) לכל x R מכאן רואים שיש קושי להגדיר [,] Ω P : A (לאיחוד סופי או ניתן למניה של נקודות ב Ω הסתברות היא אפס אבל מה לעשות עם למשל קטעים?) משפט 3. (תכונות של פונקצית ההסתברות) יהי (P Ω),A מרחב הסתברות, אזי.P( ) =..2 לכל A A מתקיים P(A).P(A) =.3 אם A, B A ו B A אזי P(B).P(A B) = P(A).4 לכל A, B A מתקיים P(AB).P(A B) = P(A) אם A, B A ו B A אזי P(A) P(B) )מונוטוניות של ההסתברות(..5.P ( i I A ) i לכל {A i } i I A מתקיים i) i I P(A.6.7 לכל A, B A מתקיים P(AB).P(A + B) = P(A) + P(B).P (.8 (א) אם {A i } i I A כזאת ש i+ A i A אזי ) i A i) = lim P(A i.p ( (ב) אם {A i } i I A כזאת ש A i+ A i אזי ) i A i) = lim P(A i

18 פרק 3. הסתברות 8 הוכחה:.,Ω שתי קבוצות זרות לכן לפי אקסיומה (2) מתקיים P(Ω) = P(Ω + ) = P(Ω) + P( ) P( ) = P(Ω) P(Ω) =. 2. A,A שתי קבוצות זרות אזי = P(Ω) = P(A + A) = P(A) + P(A) P(A) = P(A)..3 A B ו A B, B שתי קבוצות זרות, אזי P(A) = P(B + (A B)) = P(B) + P(A B) P(A B) = P(A) P(B)..4 B) A = A Ω = A (B + B) = AB + (A אזי B),P(A) = P(AB) + P(A לכן.P(A B) = P(A) P(AB).5 אם B A אזי מכייון ש P(E) לכל E נקבל ש B) P(A) = P(B) + P(A.P(B) A i = A +(A 2 A )+(A 3 (A +A 2 ))+... = A + i I i I, i> 6. קל להראות ש ( ) i A i A j. היתרון בביטוי האחרון שקיבלנו הוא שכל המאורעות הן קבוצות זרות בזוגות זה לזה. ולכן לפי אקסיומה (2) ותכונה 5 נקבל ( ) P Ai = P(A ) + ( ) i P A i A j P(A i ). i I i I, i> j= i I j=.7 מעובדה ש A) A + B = A + (B ולפי אקסיומה 2 ותכונה 4 מקבלים P(A + B) = P(B + (A B)) = P(B) + P(A B) = P(A) + P(B) P(A B). P. ( n לכן, על פי תכונה (5) נקבל.8 (א) עבור כל n (סופי) מתקיים ) n A i) = P(A ) n P(A סדרה מונוטונית לא יורדת וחסומה על ידי, אז היא מתכנסת ונקבל ( P ( A i ) = lim n P A i ) = lim n P(A n ). (ב) אנו יודעים ש A i+ A i לכל.i I אזי i+ A i A לכל.i I לכן, P ( ( A ( i) = P A ) ) i = P ( A ) i = lim n P(A n ) = lim n ( P(A n )) = lim n P(A n ). כנדרש.

19 פרק 3. הסתברות מרחב מדגם בדיד, ושיטות קומבינטוריות הגדרה 3.4 אם מרחב מדגם Ω מכיל מספר שניתן להימנות של נקודות (זאת אומרת, Ω ), ℵ אזי מרחב ההסתברות (P,Ω),A נקרא בדיד ופונקציה ההסתברות P נקראת הסתברות בדידה. הערה 3. יהי Ω = {x i } i I מרחב מדגם בדיד, כדי בניית פונקצית הסתברות ] [, Ω P : כך ש = i) i I P(x, נרחיב את הפונקציה P על ידי ] [, Ω P : A כך שלכל = A.P(A) = j J P (x ij ),{x ij } j J A Ω אז כל σ אלגברה A היא תת אלגברה של A Ω ולכן ניתן להגדיר ] [, A P : לכל σ אלגברה. הגדרה 3.5 אם מרחב המדגם,n 2,Ω = {x i} n שעבורו מתקיים p(x i ) = n לכל = i,. n..,2,, אזי Ω נקרא מרחב מדגם סימטרי והפונקציה P נקראת הסתברות אחידה. ואומרים גם שהמרחב (P,Ω),A הוא מרחב שווה הסתברות. לעיתים קרובות מנוסחת ההנחה של הסתברות אחידה על ידי משפט הבא "נבחר איבר מתוך קבוצה S באופן מקרי". דוגמא 3.3 בניין של 8 קומות ובמעלית נמצאים שני אנשים שנכנסו בקומה ראשונה. מהי ההסתברות שהם ייצאו בקומות שונות, אם כל אחד יוצא באופן מקרי (בלי תלות)? נציע שני אופנים לפתרון.. מרבח המדגם: כל האפשריות 8} j.ω = {(i, j) 2 i, נתבונן במאורע A = {(i, j) 2 i, j 8, i j}. אז = = Ω ו = 42 7 = 49 8} i. A = Ω {(i, i) 2 לכן.P(A) = = בן אדם A יכול לצאת בכל אחת מ 7 הקומות, לבן אדם B נשאר בכל מקרה 6 מתוך 7.P(A) = P(A ) P(B ) = 6 אפשרויות. = תזכורת מקומבינטוריקה נתונה קבוצה של n מספרים, נאמר ש {n...,2,}. כל n יה מסודרת של מספרים האלה נקראת תמורה. ואוסף של כל התמורות מהווה חבורה שנקראת החברוה הסימטרית מסדר n ונסמנה ב S. n ברור שמספר איברי החבורה הסימטרית מסדר!n הוא נתון על ידי!n S. n = כל k יה מסודרת כאשר k n נקראת חליפה של k מספרים מתוך n. מספר של חליפות כאלה מסומן על ידי A k n = n(n )...(n k + ) = n! (n k)!. כל k יה לא מסודרת כאשר k, n ז"א תת קבוצה של k מספרים מתוך הקבוצה {n...,2,}, ) (. למשל, לבחור 5 אנשים מתוך n k = n! נקראת צירוף ומספר צירופים כאלה הוא k!(n k)! ) (. מספר הדרכים לחלק קבוצה בת n איברים.n}.. 2, {, ל k 5 =! אנשים יש! = 5! 5! 5! 2. ( ) n i,i 2,...,i k = n! i!i 2!...i k i איברים,,j =, 2,...k הוא קבוצות לא מסודרות שכל קבוצה בה! j

20 פרק 3. הסתברות 2 דוגמא 3.4 (בעית ימי הולדת) בחדר k אנשים, מהי ההסתברות שלפחות לשני אנשים יש אותו יום הולדת באותו תאריך? נציע שני פתרונות כדלקמן:. מאורע = A k {לפחות לשניים מתוך k יש אותו יום הולדת באותו תאריך} לכן למאורע המשלים = A k {לכולםמתוך k אנשיםישימיהולדת בתאריכיםשונים}. נחשב: = ),P(A = 364 2),P(A 3 ) = ,P(A ואז קל להראות שמתקיים 365 P(A k ) = k 365 = 365! (365 k)! (365 k ),.P(A k ) = 365! כלומר (365 k)! 365 k 2. יש לנו 365k אפשרויות לרשימה של ימי הולדת אפשריים ל k אנשים, וגם יש A k 365 רשימות.P(A k ) = Ak ! מסודרות שבהם כל התאריכים שונים. לכן = 365 k (365 k)!365 k ועכשיו נתבונן במדגמים מסודרים ולא מסודרים עם ובלי חזרות. מתוך אוכלוסיה של n איברים שונים n...,2,, מוציאים מדגם של r איברים כאשר הסדר חשוב, כלומר לכתוב וקטור ) k (i, i 2,...i כאשר i j זה מספר שהתקבל במקום j r, i j n,j, ניסוי זה ניתן לתיאור על ידי ניסוי של כדורים ותאים באופן הבא: יש n תאים שונים ו r כדורים שונים, אנו מעוניינים לפזר אותם בין התאים כך שיהיה i j כדורים בתא j. לכן, אם המדגם הוא עם חזרות n! A r n = אפשרויות. (n r)! אז יש n r אפשרויות שונות, ואם המדגם הוא בלי חזרות אז יש דוגמא 3.5 (הכללת בעית ימי הולדת) מהי ההסתברות שבמדגם עם חזרות לבחור מאוכלוסיה של n איברים שונים, r איברים שונים. התשובה ניתנת על ידי הביטוי. Anr n r ועכשיו נשאל את השאלה הבאה: מהי ההסתברות שבמדגם מסודר של r איברים יהיה איבר i?. Ar n = r (n )r עם חזרות יש לנו הסתברות, ובלי חזרות יש לנו הסתברות A r n n n r אם נשאל את השאלה הבאה: מהי ההסתברות שכאשר n כדורים שונים מתפלגים בין n תאים שונים עם חזרות ללא תאים ריקים? ידוע ש!n שווה לסדר n כדורים ב n תאים ריקים כך שכל תא יכיל בדיוק כדור אחד, וגם n n שווה לגודל מרחב המדגם. לכן ההסתברות ניתנת על ידי הביטוי P. =!6 למשל, ההסבתרות שב 6 הטלות רציפות של קוביה הוגנת הופיעו כל המספרים היא.!n 6 6 n n אוכלוסיה של n איברים שונים מוציאים מדגם של r איברים כאשר הסדר לא חשוב על ידי. n הוקטור ) n (i, i 2,...i כאשר i j מספר הפעמים שהוציאו את האיבר ה j כאשר j= i j = r אפשר לתאר את זה על ידי המודל הבא: r כדורים זהים מתפלגים בין n תאים שונים. אם n! ( n = (מספר הווקטורים r!(n r)! r) נתבונן בבעיה זו בלי חזרות אז מספר האפשרויות נתון על ידי ) n (i, i 2,...i עם r אפסים ו n אחדים. אם נתבונן באותה בעיה עם חזרות אז מספר. ( ) ( r+n n = n+r ) האפשרויות נתון על ידי r איך בונים הוקטור? נדגים את הוקטור ) n i), i 2,.. i. בעזרת סדרה של אפסים ואחדים }.{{..} }.{{..}... }.{{..} i i 2 i n כאשר כל מהווה המחיצות לתאים שמכילים מספר כלשהו של אפסים. למשל, בהינתן הסדרה, מכאן נובע שיש לנו 4 תאים, כאשר בתא הראשון מכיל שני אפסים, השני מכיל

21 פרק 3. הסתברות 2 אפס אחד, והשלישי מכיל 3 אפסים והרביעי ריק, ז"א הוקטור שלנו הוא (,2).,,3 ובכך בנינו פונקציה חח"ע ועל בין הוקטורים ) n i), i 2,.. i,. עם קאורדינטות אי שליליות לבין סדרות של אפסיםואחדים עם n אחדים, ז"אעוצמת שתיהקבוצותשוות, ואני יודעים גם כן שאורך המילה הוא + r n ויש לבחור מקומות לאחדים n מקומות. ( ) ( n +r = n +r ) (מספר המחיצות בין התאים) ומזה נקבל שיש לנו ) n r כאשר r > n ובעיה נדונה עם חזרות ואין תאים ריקים אז יש ( n +r k אפשרויות, כאשר n n שווה למספר התאים, r k שווה למספר הכדורים שצריך לחלק לתאים אחרי שחילקנו כדור אחד בלבד בכל תא. ( 52 נשאלת השאלה, 5 ) דוגמא. 3.6 בבעית הקלפים. לבחירת 5 קלפים מתוך חפיסת קלפים יש מהי ההסתברות ש 5 הקלפים הללו יהיו מאותו סוג? מאחר ויש לנו 4 סוגים של קלפים ( 52 ולכן ההסתברות היא 5 ) ומכל אחד מהסוגים יש 3 קלפים מכאן נובע שמרחב המדגם הוא. 4(3 5) ( 52 5) ההסתברות שכל הקלפים (מאותו סוג כאשר המספרים שונים) יש פנים שונים היא = P. (3 5) 4 5 ( 52 5) ההסתברות שיהיו 4 קלפים עם אותם פנים היא: =.25.P = 3 ( ) 4 ( 48 ) ( 52 5) = 3 48 ( 52 5) k תאים (עם חזרות),מהי ההסתברות שבתא מסויים יש בדיוק n כדורים מתפזרים בין r 2. כדורים? ( r ) k (n ) r k ( ) ( ) k ( r P = = r k, n r k n n) ( r שווה לבחור k כדורים מתוך r כדורים שיש לנו ולשים אותם בתא מסויים, k) כאשר (n ) r k שווה לפיזור k) (r כדורים ב n התאים שנשארו, ואילו n r שווה לפיזור r כדורים ב n תאים. j= 3. לפזר r כדורים ב n תאים (עם חזרות), מהי ההסתברות שבתא ראשון i, בתא שני i, 2..., בתא n יש i n כדורים כך ש :r = n i j P = ( r )( r i ) i i 2 ( r i i n ) i n = r! n r n r i!i 2! i n!. 4. כמה נגזרות חלקיות מסדר r יש לפונקציה אנליטית של n משתנים? התשובה לכך היה ) (, שווה למספר מספר הוקטורים מהצורה ) n (i,...,i ומקיים. n i j = r n+r r j= איך לבחור את המודל הנכון? לפעמים זה מובן מתנאי הבעייה, ולפעמים צריך לערוך ניסויים, דוגמא לכך מכניקה סטטיסטית. יש r חלקיקים אלמנטריים מאותו סוג (ז"א בלי חשיבות לסדר). מחלקים מרחב פזה ל n "תאים" כך שביחידת זמן כל חלקיק יכול להיות בתא אחד.

22 פרק 3. הסתברות 22 r! התפלגות n r i!...i n!. אזי יש תיאורטית n r אפשריות, לכן למצב ) n (i,...i יש הסתברות הזאת נקראת סטטיסטיקה בולצנו מקסוול, והיא לעולם לא מתקבלת בנסיונות! 2. אם החלקיקים הם פוטונים, נוקלאונים ואטומים עם מספר זוגי של חלקיקים אלמנטריים ) ( אפשריות כולם אפשריים באותה מידה. n+r אז ההתפלגות היא לפי אינשטיין בוזה יש r 3. אם החלקיקים הם אלקטרונים, פרוטונים,נויטרונים ו n > r (יש יותר תאים מאשר כדורים) אז הם מתפלגים לפי החוקים הבאים: (א) בשום תא אין יותר מחלקיק אחד ( n מצבים שכולם אפשריים באותה מידה; r) (ב) כל המצבים אפשריים באותה מידה יש סטטיסטיקה הזו נקראת דירק פרמי. n! 2π n n+ 2 e n n! lim =. n 2π n n+ 2 e n נוסחת סטרילינג משפט 3.2 (נוסחת סטרילינג).(C = 2π נוכיח כי (בהמשך.e 2 C e כאשר lim n! n n (n+ 2 הוכחה: נוכיח כי = C נחלק את ההוכחה לשלבים: ) e n. במקום לחקור את!n נחקור את!n ln באופן הבא: ln(n!) = ln( 2...n) = ln + ln ln n = ln(i) לכל (3.) k k ln tdt < ln k < k+ k k k= k n 2. פונקצית ln x מונטנית עולה לכן לכל k טבעי מקבלים ln tdt lntdt < ln tdt < ln k < k= ln i < k= n+ k+ k ln tdt ln tdt k לכן: ששקול ל

23 פרק 3. הסתברות 23 b a ln xdx }{{} = x ln x b a u=lnx dv=dx b a לפי חלקים: xdx = b ln(b) a ln(a) (b a) x b a.3 נחשב ln tdt נציב בשני הצדדים ונקח בחשבון שלפי כלל לופיטל מתקיים: = x lim x ln נציב ב x + )3.( ונקבל n lnn lim a ln a n < ln i < (n + ) ln(n + ) ln n. a } + {{} lim x ln x = lim נובע ש x + ln x x + x }{{} = lim x + x n ln n n < ln n! < (n + ) ln(n + ) n. לפי = x = lim x 2 x +.4 תהי הסדרה d n = ln n! (n + ) ln n + n נראה ש d n סדרה יורדת: 2 d n d n+ = ln n! (n + ) lnn + n ln((n + )!) + (n + + ) ln(n + ) (n + ) 2 2 = ln(n + ) (n + )[ln n ln(n + )] + ln(n + ) 2 = (n + ) ln( n ) = (n + ) 2 n+ 2 ln(n+) n = t), ln( לכן.5 נזכיר של < t < מתקיים ln(t + ) = ( ) i+ ti ו t i i i ln (3.2) ( ) + t = (( ) i+ + ) ti t i = (( ) 2j++ + ) t2j+ 2j + = 2 i j j n + n = 2(n + ) 2n (n + 2 ) ln(n+ n ) = (n + 2 ) 2 = + j= ( n+ +t =, ונקבל t n ( j= 2n+ )2j 2j+ = t 2j+ 2j +. נשתמש בנוסחה )3.2( לגבי t כך ש (2n + ) + (2n + ) = + 2n+ )2j+ 2j+ = (2n + ) = n+,d n d כלומר קיבלנו ש d n הינה סידרה יורדת. j= 2n+ 2n+ מכאן נובע + (2n + ) ( 2n+ ( 2n+ )2j j= 2j+ זאת אומרת, > 2n+ )2j+ 2j+

24 פרק 3. הסתברות מצד שני מתקיים ( 2n+ )2j < ( 2j+ 3 2n+ )2j j= j= = ( 2n+ )2 3 ( 2n+ )2 = = = 3 (2n+) 2 3 (2n+2)(2n) = 2 ( (n+)n = ) 2 n n+, d n d n+ < 2 n 2 d n+ n < d 2 n n+ 2 ולכן מתקיים n+. n c, n = d קל לראות שהסדרה היא עולה ולכן מכאן מקבלים 2 n 2 = 2 = c < c n < d n < d =. נסמן ב מאחרו d n הינהסדרהיורדתוחסומהמלמטהנקבלש lim n d n קיים. ולכןמתקיים ( d n = ln n! n + ) ( ) n! ln n + n = ln, 2 n n+ 2 e n, ואז נקבל ש 2.J m = J 2 = π 2 J m = π 2 < ln A ז"א הגבול קיים כאשר < lim n n! n n+ 2 e n ומתקיים גם = A.e 2 < A < e עכשיו נוכיח ש C. = 2π לשם כך נשתמש באינטגרלים הבאים sin m xdx sin 2 xdx = π 2 π 2 cos 2x 2 dx = π 4,J = π 2 sin m xdx = }{{} u=sin m x,du=(m ) sin m 2 x cos xdx = (m ) dv=sin xdx,v= cos x π 2 sin m 2 xdx (m ) π 2 sin xdx = cos x π 2 מחישוב ישיר נקבל = sin m x cosx π π 2 + (m ) 2 sin m xdx, } {{ } J m ואילו sin m 2 x cos 2 xdx m J m = עבור 3.m נחלק לשני מקרים זאת אומרת m 2 m J

25 פרק 3. הסתברות 25 J m = m m m 3 m 2 m 5 3 m 4 4 m.j m = כלומר קיבלנו ש m { J m = π = (m )(m 3) 3 π = π (m )!!. אם m = 2k אזי 4 m(m 2) m!! m 3 m = (m )!! m!!.2 אם + 2k m = אזי π (m )!! 2 m!! (m )!! ; m = 2k m!! ; m = 2k + < x < π 2 ( ) 2 (2n)!!, lim ידוע כי < x < sin בתחום n (2n )!! 2n כעת נותר לחשב את הביטוי מזה אנו מקבלים < sin 2n+ x < sin 2n x < sin 2n x J 2n+ < J 2n < J 2n, נשתמש (2n)!! < (2n )!! π < (2n 2)!! (2n+)!! (2n)!! 2 (2n )!! (2n)!! = (2n )!! ((2n)!!)2 < π < ( (2n)!! (2n+)((2n )!!) 2 2 (2n )!! )2, 2n ( ) 2 lim (2n)!! = π. n (2n )!! 2n 2 ((2n)!!)2 = (2n(2n 2)(2n 4) 2)2 = 22n (n(n ) ) 2 = 22n n! 2 (2n)!!(2n )!! (2n)!!(2n )!! (2n)! (2n)! ( π 2 2n 2 = lim (n!) 2 n (2n)! ) 2 ששקול ל וזה גורר ש נחשב את, lim n!/(a n( n ונקבל בנוסחה = ) )n n e 2n = lim 2 4n A 4 n 2 ( n e )4n n A 2 2n( 2n e )4n 2n = A2 4.(A > ) A = 2π כלומר,A 2 = 4 π 2 לכן = 2π n!n השגיאה סטרילנג נוסחת פי על קירוב! ! ! לפי נוסחת סטרילינג מתקיים: עכשיו נביא דוגמא לאחד השיומשים של נוסחת סטירלינג. יהי n כדורים ב n תאים עם חזרות, מהי ההסתברות שכל הכדורים יהיו בתאים שונים? התשובה לכך נתונה בביטוי הבא 2πn p = n! n+ 2 e n = 2πn e n n n n n

26 פרק 4 הסתברות מותנית, הסתברות שלמה ונוסחת בייס 4. הגדרת הסתברות מותנית הגדרה 4. נתון מרחב הסתברות P),(Ω, A, ויהיו A, B A כאלה ש >.P(B) הסתברות מותנית של מאורע A בתנאי שמאורע B קרה, או בקיצור "הסתברות של A בתנאי B מוגדרת על ידי P(A B) P(A B) =. P(B) טענה 4. נתון מרחב הסתברות P) (Ω, A, ו B A כזה ש >.P(B) נגדיר ) B (B, A B, P P(F).P B (F) = אז P(B) באופן הבא A} A B = {A B A ולכל קבוצה F A B מתקיים ) B (B, A B, P הוא מרחב הסתברות. הוכחה: צריך להראות ש A B היא σ אלגברה מעל B ו ] [, B P B : A היא פונקצית ההסתברות.. נוכיח כי A B היא σ אלגברה מעל B. (א) B A כי B B = B A B (ב) תהי A A אזי A A ומתקיים: B = Ω B = (A + A)B = AB + AB לכן לכל F = AB A B, A A מתקיים F B = AB A B 26

27 פרק 4. הסתברות מותנית, הסתברות שלמה ונוסחת בייס 27 (ג) לכל {F i } i I A B קיימת {A i } i I A כזאת ש F i = A i B לכל i I לכן ) ( = i F, מכאן נובע ש: A B היא σ אלגברה מעל A i B = A i B A B i I i I i I.B.2 נוכיח כי ] [, B P B : A מקיימת אקסיומות פונקציה ההסתברות.. P B (F) = P(AB) P(B) (א) P B (B) = P(B B) P(B) = P(B) (ב) = P(B) (ג) אם {F i } i I A B כמשפחה זרה של קבוצות אזי B) (F i = A i עם,A i A ולכן P B ( F i ) = P( A i B) P(B) = P(Ai B) P(B) = P B (F i ). יש להעיר כי A B זו לא קבוצה! ולפי טענה 4. הסתברות מותנית מקיימת תכונות של פונקציה הסתברות. טענה 4.2 יהי (P,Ω),A מרחב הסתברות, אזי. לכל A, B A כאלה ש,P(A) P(B) מתקיים: P(AB) = P(A B) P(B) = P(B A) P(A). P( n.2 אם {A i } n A קבוצה כזאת ש > ) i P( n A אזי n A i ) = P(A ) P(A 2 A ) P(A 3 A A 2 ) P(A n A i ). P(A B) = P(AB) P(B) הוכחה:. לפי הגדרת ההסתברות המותנית נקבל שמתקיים P(AB) = P(A B) P(B).

28 פרק 4. הסתברות מותנית, הסתברות שלמה ונוסחת בייס הטענה השנייה נכונה עבור = 2 n (הוכחנו ב ), לכן נוכיח את הטענה באינדוקציה על A = A n כעת נגדיר הקבוצות n. ונראה עבור n לשם כך נניח נכונות הטענה עבור n, ו n B = A A 2 A מכאן נובע שמתקיים: P( n A i ) = P(A n B) = P(A n B) P(B) = = P(A n B) P(A n A,...,A n 2 )...P(A 2 A )P(A ). הגדרה 4.2 יהי (P,Ω),A מרחב הסתברות. מאורעות,A B A נקראים בלתי תלויים אם מתקיימים P(B).P(AB) = P(A) אזי הגדרה אלטרנטיבית היא,A B בלתי תלויים אם: P(A B).P(A) = שתי ההגדרות האלה מתלקדות כאשר > P(B) כי אז אם מתקיים P(B) P(AB) = P(A) אזי P(A B) = P(AB) P(B) = P(A). ואם P(B).P(A B) = P(A) P(AB) = P(A) ההגדרה הראשונה טובה כי היא מראה שמוסג "בלתי תלויים" הוא סימטרי. ההגדרה השניה מסבירה את העיקרון של אי תלות, כלומר זה ש B קרה לא משפיע על סיכוי של A לקרות. הגדרה 4.3 יהי P) (Ω, A, מרחב הסתברות. מאורעות {A i } n A נקראים בלתי תלויים אם.P( k לכל צירוף } k {i,...i כאשר k n 2 מתקיים: ) ij A ij ) = k P(A j= j= חשוב להעיר שצריך לבדוק את כל הצירופים האפשריים כי לבדוק רק צירופים מאיזשהו סדר זה לא מספיק! דוגמא 4. הניסוי: הטלת 2 קוביות שונות. יהיו נתונות המאורעות = A {תוצאה על הקוביה הראשונה היא אי זוגית}, = B {תוצאה על הקוביה השניה היא זוגית}, = C {סכום על שתי קוביות הוא אי זוגי} ומתקיים =.5 P(C) P(A) = P(B) = וגם AB = AC = BC = ABC P(AB) = P(AC) = P(BC) = = P(A) P(B) = P(A) P(C) = P(B) P(C) כאשר = =,P(AB) ומצד שני מתקיים: =.25 P(ABC) ו C תלויה ב A ו.B טענה 4.3 (תכונות אלמנטריות של הסתברות מותנית)

29 פרק 4. הסתברות מותנית, הסתברות שלמה ונוסחת בייס 29. אם A, A 2 A זרים ו B A כזה ש > P(B) אזי P((A + A 2 ) B) = P(A B) + P(A 2 B)..P(A A + B) = P(A) P(A)+P(B).2 בפרט מתקיים P(A B).P(A B) =.3 אם A ו B זרים ו > B) P(A + אזי 4. אם,A B בלתי תלויים אזי הזוגות הבאים הם בלתי תלויים: (B,A).,(B (A,B),,A).5 אם < P(B) < אזי B, A בלתי תלויים אם"ם P(A B).P(A B) = הוכחה: על פי ההנחות מתקיים P(A + A 2 B) = P((A +A 2 )B) = P(A B+A 2 B) = P(A B)+P(A 2 B) P(B) P(B) P(B) = P(A B) + P(A 2 B).. = P(Ω B) = P(A + A B) = P(A B) + P(A B) P(A B) = P(A B)..2 P(A A + B) = P(A(A+B)) P(A+B) = P(A+ ) P(A)+P(B) = P(A) P(A)+P(B)..3.P(AB) = P(A) P(AB) = P(A) P(A)P(B) = P(A)( P(B)) = P(B)P(A).4 5. אם A ו B בלתי תלויים, אז,A B בלתי תלויים לפי הסעיף הקודם, לכן = P(A B) P(A B).P(A) = להיפך נניח ש P(A B),P(A B) = אז P(A B) = P(AB) P(B) = P(A) P(AB) P(B) = P(AB) P(B) = P(A B). מכאן נקבל ש P(B)) P(B)(P(A) P(AB)) = P(AB)( שגורר ש = P(AB).P(A)P(B) 4.2 הסתברות שלמה ונוסחת בייס משפט 4. יהי P) (Ω, A, מרחב הסתברות. תהי {A i } i I פירוק של,Ω ותהי B A אזי: P(B) = i I P(B A i ) P(A i ).. נוסחת ההסתברות השלמה

30 פרק 4. הסתברות מותנית, הסתברות שלמה ונוסחת בייס 3 2. אם בנוסף נתון ש > P(B) אזי מתקיימת נוסחת בייס הבאה: P(A i B) = P(B A i) P(A i ) P(B) = P(B A i) P(A i ) P(B A i ) P(A i ). i I הוכחה: על פי ההנחות מתקיים P(B) = P(B A i ) = P( B A i ) = P(B A i ) = P(B A i )P(A i ). i I i I i I i I i) P(B A i ) = P(B A ומכאן נובע ש P(A i P(A אבל מצד שני מתקיים ) i B) = P(A i B).2 P(B) ) i,p(a i B) = P(B A i) P(A ושימוש בסעיף הקודם נשלים את ההוכחה. P(B) דוגמא 4.2 נוסחת ההסתברות שלמה מאוד נוחה, כי לעיתים קרובות אנו יודעים משהו רק מותנית. למשל נדון בבעית עיוורון צבעים: עיוורון צבעים קשור לכרומוזמה X. כל השינויים שקשורים לכרומוזומה X ההסתברות שלהם תלויה במין אם הסתברות לגבר היא P אז ההסתברות לאישה,P(B) = 2,P(D B) = היא P. 2 נסמן ב D = {יש עיורון צבעים}, B =גבר, נתון גם 4 =.P(D B) מהי ההסתברות שלתינוק שנולד יש עיוורון צבעים? 4 2 P(D) = P(D B) P(B) + P(D B) P(B) = = 2 ( ). דוגמא 4.3 נגדיר תאומים זהים או תואמים חד ביצית, הם תאומים שהתפתחו מביצה אחת, אחרת נאמר תאומים לא זהים (תאומים זהים הם תמיד מאותו מין). נניח שאם תאומים הם לא זהים אזי ההסתברות לכל אחד להיות ממין הנתון הוא.5, זאת אומרת בהסתברות.5 הם מאותו מין ובהסתברות.5 הם ממין שונה. בין התאומרים נולדים %64 של תאומים מאותו מין. כמה מבין התאומים חד ביצית? נגדיר המאורעות הבאים = A {תאומים מאותו מין} = B {תאומים חד ביצית} וקיים = P(A B) P(A B) =.5, ו P(B) = P מכאן נובע ש: P(A) = P(A B) P(B) + P(A B) P(B) == p +.5( p) =.64, זאת אומרת, =.4,.5p.P(B) =.28 בנוסחת בייס יש לנו K הנחות זרות ואנו יודעים ש ) i P(B A שווה להסתברות של המאורע B בהינתן ההנחה P(A i ) A, i שווה להסתברות של ההנחה A, i ו P(B) שווה להסתברות של המאורע הכללי B. אנו מעוניינים לחשב את ההסתברות של ההנחה בהינתן המאורע B כלומר לחשב B).P(A i

31 פרק 4. הסתברות מותנית, הסתברות שלמה ונוסחת בייס 3 דוגמא 4.4 תסמונית דואן היא מחלה תורשתית הקשורה לשגיאת שיכפול הגן. ההסתברות שלה גודל דרסאית עם השנים. ההסתברותשלהודלת תינוק עם תסומנת לאישה בגיל 3 היא: = ) 3,P(D 885 ההסתברות של הולדת תינוק עם תסמונת לאישה בגיל 45 הוא: = ) 45.P(D בדיקת חלבון עוברי 32 מראה תוצאות אמת ב 99.5% לכל צד, ז"א P(A D) =.995 P(A D) =.995 P(A D) =.5 כאשר = A {תוצאה חיובית}, = D {איזשהו מקרה}. אישה בגיל 3 מקבלת תוצאה חיובית. מהי ההסתברות שלתינוק יש תסמונת דאון? התשובה להלן: P(D 3 A) = P(A D 3) P(D 3 ) P(A) = P(A) P(A D 3 ) P(D 3 ) + P(A D 3 ) P(D 3 ). נחשב את P(A) ע"י הנוסחה השלמה ונקבל: P(D 3 A) = מכאן נובע ש דוגמא 4.5 יש שק עם מטבעות, 999 מטבעות הוגנותואחתנוטה עםהסתברות =.9 (עץ) P. מוציאים מטבע מהשק ומתחילים להטיל אותו. כמה פעמים צריך לקבל עץ ברציפות כדי להיות בטוח ב K לפחות שהמטבע הוא נוטה כאשר = 5%,K,K = 99%,K = 9% ו = 99.9%.K כדי לענות על השאלה, נסמן ב {n = A n פעמים ברציפות התקבל עץ} וב B = } המטבע הוא נוטה} מכאן נובע ש =.,P(B) P(B) =.999 הן הסתברויות אפשריוריות כמו כן מתקיים,P(A n B) = (.5) n,p(a n B) = (.9) n P(B A n ) = P(A n B) P(B) P(A n B) P(B) + P(A n B) P(B) P(B A n ) = P(B A n ) P(B A n ) P(A n B) P(B) P(A n B) P(B) + P(A n B) P(B) k k P(B A n) k P(B A n ) k, בנוסף,

32 פרק 4. הסתברות מותנית, הסתברות שלמה ונוסחת בייס 32 אבל ולכן נחלק לכמה מקרים: P(B A n ) P(B A n ) = (.9)n. (.5) n.999 = ( 9 5 )n 999 n[log(9) log(5)] log(999) log k log( k) n log k log( k) + log(999). log 9 log 5 k =.5 n.75 n 2 k =.9 n 5.48 n 6 k =.99 n 9.56 n 2 k =.999 n 23.5 n 24 הערה 4. משפט בייס זמן רב היה שנוי במחלוקת כי הוא מיועד לתקון של הסתברויות אפריוריות,כאשר הרעיון המקורי של בביס היה : אם אנחנו לא יודעים כלום על הנחות באו נתן לכל ההנחות אותו סיכוי, זאת אומרת מתרגמים חוסר ידע להתפלגות אחידה ואחרי ניסיונות מתקנים את ההסתברויות. אבל למה לתרגם חוסר ידע דווקא להתפלגות אחידה (כאן חוזרים למקרה נפוץ כאשר אנשים חושבים שאם יש רק שתי אפשריות אז ההסתברות של אפשרות היא חצי). היום יש סטטיסטיקאים שקוראים לעצמם "סטטיסטיקאים בייסאנים", זאת אומרת שהם משתמשים במשפט בייס במקרה של חוסר ידע, ויש כאלה שמסרבים להשתמש במשפט בייס. מעניין שבייס (76 72) לא פרסם את המשפט שלו בדיוק כי הרגיש שתרגום של חוסר ידע להתפלגות אחידה לא נכון ולא ידע איך לפתור את הבעיה של הערכת הסתברויות אפריוריות. 4.3 תרגילים תרגיל 4. בתוכנית הטלויזיה היומית "מי רוצה להיות מילארדר, היום?" ישנם שלושה וילונות. מאחורי אחד הוילונות ישנו צ'ק שמן בשווי מילארד שקלים, ומאחורי שני הנותרים קופסאות סיגרים (גם טוב). המתחרה בוחר וילון. המנחה מרים וילון מהשניים הנותרים בו אין מיליארד שקלים, ושואל את המתחרה האם הוא רוצה להחליף וילון (לשלישי הנותר). איזו טקטיקה כדאית למתחרה, להחליף וילון או להישאר עם הוילון שהוא בחר (בשביל שיהיה לו יותר סיכוי לזכות בכסף)? פתרון: נניח שהמתחרהנשארעם הוילון שלו. אזיש לוהסתברות של /3 לזכות. אםהמתחרה תמיד מחליף וילון, אז יש לו הסתברות 2/3 לזכות: הוא יזכה אם בהתחלה הוא בחר בוילון עם סיגרים. לכן עדיף להחליף וילון. תרגיל 4.2 בקבוצת לימוד אנגלית לומדים בני מאדים, ו 5 בני נוגה. בוחרים מהקבוצה תת קבוצה של חיזרים. מה ההסתברות שהיחס בין מספר בני מאדים למספר בני נוגה בתת הקבוצה יהיה שווה ליחס המתאים בכל קבוצת הלימוד (אין צורך לחשב את התשובה נומרית)?

33 פרק 4. הסתברות מותנית, הסתברות שלמה ונוסחת בייס 33. ( 4 )( 5 6 ) ( 25 ) פתרון: התשובה ניתנת על ידי הביטוי תרגיל 4.3 מתמטיקאי, בזמן חופשתו מההוראה באוניברסיטה, קרא 7 מאמרים בטופולוגיה ו 8 מאמרים באלגברה (והוא היה קורא עוד אילולא הסמסטר החדש שהגיע). בוחרים אקראית 5 מאמרים מאלו שהוא קרא. מה הסיכוי שלפחות 4 מהם עוסקים באלגברה? פתרון: התשובה ניתנת על ידי הביטוי. (8 4)( 7 ) ( 5 5) + (8 5)( 7 ) ( 5 5) תרגיל 4.4 נתאר שני משחקים: בידנו שני כדים; האדום שמכיל n כדורים שחורים ו m לבנים והכחול שמכיל n כדורים שחורים ו m לבנים. במשחק הראשון, אנחנו בוחרים כד, מוציאים ממנו כדור אחד, ואם הכדור לבן, זוכים בחביתה. באיזה כד כדאי יותר לבחור? למה? במשחק השני, אנחנו בוחרים כד, מוציאים ממנו שני כדורים, וזוכים בחביתה אם לפחות אחד מהכדורים לבן. באיזה כד כדאי יותר לבחור? למה? פתרון: במשחק הראשון לא חשוב איזה כד נבחר כי בכל מקרה יש הסתברות של לזכות. במשחק השני עדיף לבחור את הכד האדום: אז ההסתברות לזכות כאשר נבחר בכד הכחול ההסתברות לזכות m n+m m + m ואילו n+m n +m m n + m + m n + m = m n + m + m n / + m. תרגיל 4.5 בכד יש 3 כודרים לבנים ו 7 כדורים שחורים. הוציאו באופן אקראי כדור אחד ושמו הצידה. אחרי זה הוציאו עוד כדור, והוא היה לבן. מה ההסתברות שהכדור שהוציאו בפעם הראשונה היה לבן? פתרון: נסמן W הכדור הראשון היה לבן, W הכדור 2 השני היה לבן. אז P(W W 2 ) = P(W 2 W )P(W ) P(W 2 W )P(W ) + P(W 2 W )P(W ) = 2/9 3/ 2/9 3/ + 3/9 7/ = 2 9. תרגיל 4.6 בכל אחד משני כדים יש b כדורים שחורים ו w כדורים לבנים. מוציאים כדור מהכד הראשון ושמים אותו בכד השני ואז מוציאים כדור מהכד השני. מה ההסתברות שהכדור השני יהיה לבן? פתרון: לפי נוסחת ההסתברות השלמה.P = w b+w w+ b+w+ + b b+w w = w b+w+ b+w תרגיל 4.7 סביבשולחןעגולעם 2 מקומותמתיישבים 6 זוגות, באופןאקראילגמרי. מהההסתברות שכל זוג ישב במקומות צמודים?

34 פרק 4. הסתברות מותנית, הסתברות שלמה ונוסחת בייס 34 פתרון: בכמה אופנים אפשר לסדר את 2 האנשים סביב השולחן? ב!2 אופנים. בכפה אופנים נקבל סידור "טוב"? ב 2 5!5 2 2 )ב 2 אופנים נבחר לאן לשים את הגבר בזוג הראשון; ב 2 אופנים נוכל לבחור לאן לשים את אשתו; אז ב! 5 אופנים נוכל לבחור איך לסדר את 5 הזוגות הנותרים, וב 2 5 אופנים נבחר את הסידור הפנימי בתוך הזוגות(. כלומר התשובה ! 25 = 5! היא! 26 2! תרגיל 4.8 שני ציידים יורים בצבי בו זמנית ובאופן בלתי תלוי. ידוע שהצייד הראשון פוגע במטרה בהסתברות.8, והשני.4. הצבי הרוג, ונמצא בו כדור אחד. איך צריך לחלק את הצבי? (רמז: צריך להשתמש בנוסחת בייס). פתרון: נסמן מאורעות, A נמצאכדוראחד בצבי. A הצידהראשון פגעוהשנילא, A הציד השני פגע והראשון לא, A שני הצידים פגעו, A אף ציד לא פגע. אז לפי נוסחת בייס P(A A) = = P(A A )P(A ) P(A A )P(A )+P(A A )P(A )+P(A A )P(A )+P(A A )P(A ) (.8.6) P(A )+ (.8.6)+ (.2.4)+ P(A ) = 6 7. באותו אופן = (A.P(A 7 ולכן יש להביא לציד הראשון 6 מהצבי ולשני את היתר (תנחומינו 7 לשני, כמו גם לצבי). תרגיל 4.9 ישנם מטבעות הוגנים, אבל על 2 מהם ה"עץ" מופיע משני הצדדים. בוחרים באקראי מטבע מ המטבעות הללו ומטילים אותו 3 פעמים. מה ההסתברות שהופיע 3 פעמים "עץ"? פתרון: לפי נוסחת הסתברות שלמה.P = = 3